Задание №15973 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Да. Например, сумма цифр числа 9120 равна 12, значит, из него получится

б) Любое четырёхзначное число можно записать в виде где x, y, z, t — его цифры. В результате заданной операции получится число  Такое число делится на 3. Но 2053 не делится на 3, значит, оно не могло получиться.

в) Заметим, что число, которое получается в результате заданной операции, не зависит от последней цифры исходного числа. Значит, достаточно найти количество различных чисел, которые получаются из чисел,кратных 10.

Докажем, что если два кратных 10 числа и отличаются, то из них получатся разные числа и 
Обозначим 
Это — разность полученных чисел. Если , то разность R не равна нулю, так как  

Если то разность не равна нулю, так как  Если же то разность
тогда и только тогда, когда  Следовательно,  тогда и только тогда, когда
Таким образом, в результате операции из различных четырёхзначных чисел, кратных 10, получаются разные числа.

Среди чисел от 3100 до 4000 ровно 91 число делится на 10. Значит, в результате операции из чисел от 3100 до 4000 может получиться 91 различное число.

Верно получены все обоснованные ответы в пунктах а, б и в - 4 балла
Верно получены обоснованные ответы в пунктах а и в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах б и в - 3 балла
Верно получен обоснованный ответы в пункте в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а и б, пункт в не решен - 2 балла
Верно получен обоснованный ответ в пункте а, либо получен верный обоснованные ответ в пункте б - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Ответ: а) да; б) нет; в) 91

Источник: Сборник Лысенко Ф.Ф. (Легион)