Задание №15959 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Да, например, записаны числа 60, 66, 72, 78, 84 и 90.

б) Предположим, что это возможно. Пусть записаны числа, причём . Ясно, что   ОтсюдаСледовательно, должно выполняться   Получили противоречие. Значит, требуемое невозможно.

в) Пусть записаны числа  причём
Условие «сумма любых двух из записанных чисел больше любого из записанных чисел» выполнено тогда и только тогда, когда  так как сумма любых двух чисел не меньше, чем  а, с другой стороны, любое из записанных чисел не больше, чем  
Аналогично решению пункта б) получим 

Заметив, что наименьшее значение суммы всех чисел возможно, только если - последовательные натуральные числа от  до  Действительно, если  то  При этом, если  то  то есть для набора чисел   условие «сумма любых двух из записанных чисел больше любого из записанных чисел» выполнено.

Далее будем рассматривать только те наборы чисел, в которых  — последовательные натуральные числа.
Заметим, что  Отсюда  и  Следовательно,   
Рассмотрим два случая:
1)
2)

В первом случае получим, что и по условию  Отсюда  и  В этом случае  Тогда найдём сумму всех записанных чисел по формуле для арифметической прогрессии: 
Во втором случае  . Тогда 
Таким образом, получили, что наименьшее задуманное значение суммы всех записанных чисел равно 59 700.

Верно получены все обоснованные ответы в пунктах а, б и в - 4 балла
Верно получены обоснованные ответы в пунктах а и в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах б и в - 3 балла
Верно получен обоснованный ответы в пункте в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а и б, пункт в не решен - 2 балла
Верно получен обоснованный ответ в пункте а, либо получен верный обоснованные ответ в пункте б - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Ответ: а) да; б) нет; в) 59 700

Источник: Сборник Лысенко Ф.Ф. (Легион)