Задание №78720 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:

а) Так как в 3 раза больше стороны основания, то обозначим сторону основания за  тогда Так как по условию у нас правильная пирамида, то в основании данной пирамиды лежат 6 равносторонних треугольников. Получаем, что Угол (так как опирается на диаметр описанной окружности).
По теореме Пифагора выразим (по условию).Рассмотрим треугольник
По теореме Пифагора:

Рассмотрим треугольник
перпендикулярна и так как данный треугольник равнобедренный (у нас правильная пирамида), то  является высотой, медианой и биссектрисой

По теореме косинусов для треугольника :

- середина Ч. т. д.

б)

Из точки постоим прямую параллельную Так как - перпендикуляр к основанию пирамиды, то и перпендикулярна основанию и точка принадлежит прямой
Из точки проведем перпендикуляр к прямой
Получаем прямую По телреме о трех перпендикулярах (- наклонная,а - проекция).
Получим угол между плоскостями равен углу (обозначим его как ).
Так как и - середина то по теореме Фалеса - середина
Так как - середина, то
Рассмотрим :

Тогда
Тогда

Ответ: б) 

Источник: Сборник И.В. Ященко