Задание №59656 ЕГЭ по Математике (профиль)
В треугольной пирамиде SABC боковые грани равнонаклонены к плоскости основания. Плоскость 
проходит через боковое ребро SC и основание H высоты пирамиды SH, и пересекает AB в точке P.
а) Докажите, что 
б) Найдите объем тетраэдра SPCB, если 
а высота пирамиды SABC равна 
Решение:
а) Так как боковые грани равнонаклонены, то основание высоты пирамиды SH является центром вписанной окружности ∆ABC, она же точка пересечения бисектрисс ∆ABC. То есть, CH — часть бисектриссы треугольника. Плоскость ϕ проходит через CH и пересекает AB в точке P, поэтому CP бисектрисса. А тогда по свойству бисектриссы 
По теореме синусов 
и поэтому 
б) Полупериметр ∆ABC равен 
Площадь ∆ABC по формуле Герона равна 
По теореме синусов ∆ABC: 
Тогда из п.а) 
У ∆ABC и ∆PCB общая высота, а основания лежат на одной прямой. Поэтому 
Наконец, так как у SPCB и SABC одна и та же плоскость основания и вершина, то будет одна и та же высота 
Поэтому 
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) или имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), или при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов
Ответ: б) 
Источник: NeoFamily