Задание №60095 ЕГЭ по Математике (профиль)
а) Докажите, что в кубе ABCDA1B1C1D1 прямые A1C и DC1 перпендикулярны.
б) В этом же кубе найдите расстояние от точки C1 до плоскости A1BC, если 
Решение:
Прямая DC1 лежит в задней плоскости D1C1C. Спроецируем вторую прямую A1C на эту плоскость, получим D1C. Так как D1C и DC1 перпендикулярны как диагонали квадрата, по теореме о трёх перпендикулярах A1C ⊥ DC1.
б) Построим сечение куба плоскостью (A1BC). Так как левая грань куба (A1D1D) параллельна правой грани куба (BB1C1), следы сечения на них должны быть параллельны. BC - след сечения на правой грани, а A1D1 параллельна BC и A1∈ (A1D1D). Значит, след сечения на левой грани это A1D1. Таким образом, искомое сечение это прямоугольник A1D1CB. Отсюда также следует, что (A1BC) и (DA1C1) суть одна и та же плоскость.
По доказанному выше C1D ⊥ D1C, A1C. Пользуясь признаком перпендикулярности прямой и плоскости, заключаем, что C1D ⊥ (D1A1C). Это означает, что расстояние между С1 и (A1BC) ≡ (D1A1C) равно отрезку C1O, где 
- центр квадрата DD1C1C. Диагональ квадрата 
по теореме Пифагора, а отрезок CO равен 
так как O середина CD.
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) или имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), или при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов
Ответ: б) 
Источник: NeoFamily