- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 76720
Задание №76720 ЕГЭ по Математике (профиль)
В правильной четырехугольной пирамиде 
через ребро 
провели плоскость 
образующую сечение 
где 
и 
- точки пересечения плоскости 
с боковыми ребрами 
и 
соответственно. Известно, что
а) Докажите, что точки и делят ребра 
и 
в отношении 
считая от вершины 
б) Найдите косинус угла между плоскостью основания 
и плоскостью 
Решение:
а) Так как 
правильная пирамида т. е 
- квадрат
следовательно 
Таким образом 
т. е 
(по 2-ум углам)
Т. е 
(Так как квадрат 
и 
Так как 
(ребра правильной пирамиды).
что и требовалось доказать.
б) Пусть 
- середина 
- середина 
- середина 
соединив точки, получим
где 
- искомый угол, между плоскостью 
и осями пирамиды.
Пусть 
тогда 
тогда 
Рассмотрим равнобедренную трапецию 
Так как 
тогда 
(по 2-ум катетам)
Тогда по теореме Пифагора: 
Получаем 
Аналогично в трапеции 
Построим высоты 
и 
- высоты, катетов равны 
По теореме Пифагора в 
воспользуемся теоремой косинуса в 
Рассмотрим 
- равнобедренный.
для 
для 
Тогда:
Ответ: б) 
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)