Задание №15990 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Обозначим точки пересечения диагоналей оснований через и соответственно:

Плоскость  пересекает плоскость диагонального сечения  по прямой , - точка пересечения и   - точка пересечения и   - средняя линия треугольника  так как диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам,   поэтому  значит 
 значит - трапеция, в которой  - средняя линия, так как  Следовательно, 
   

Таким образом,  плоскость делит ребро в отношении считая от точки
б)

- линия пересечения плоскостей и где - точка пересечения прямых и Проведём в плоскости
По теореме о трёх перпендикулярах и - угол между плоскостями и
по двум углам:  - общий,   как соответственные при параллельных прямых и Следовательно:
 
В треугольнике  
Тогда по теореме косинусов:
Значит
В треугольнике  так как как диагонали квадрата,  
Тогда  
Таким образом,

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) или имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), или при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: 

Источник: Сборник Лысенко Ф.Ф. (Легион)