Задание №15990 ЕГЭ по Математике (профиль)
Сторона квадрата, лежащего в основании прямоугольного параллелепипеда равна 6, а боковое ребро равно 10. Точка
— середина ребра
на ребре
отмечена точка
так, что
а) Докажите, что плоскость делит ребро
в отношении 1 : 9, считая от точки
б) Найдите угол между плоскостями и
Решение:
а) Обозначим точки пересечения диагоналей оснований через и
соответственно:
Плоскость пересекает плоскость диагонального сечения
по прямой
,
— точка пересечения
и
— точка пересечения
и
— средняя линия треугольника
, так как диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам,
поэтому
значит
значит
- трапеция, в которой
— средняя линия, так как
Следовательно,
Таким образом,
плоскость
делит ребро
в отношении 1 : 9, считая от точки
б) — линия пересечения плоскостей AKL и ABC, где
— точка пересечения прямых
и
Проведём в плоскости
По теореме о трёх перпендикулярах и
— угол между плоскостями
и
по двум углам:
— общий,
как соответственные при параллельных прямых
и
Следовательно
В треугольнике
Тогда по теореме косинусов:
Значит
В треугольнике
так как
как диагонали квадрата,
Тогда
Таким образом,
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) или имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), или при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов
Ответ:
Источник: Сборник Лысенко Ф.Ф. (Легион)