Задание №15990 ЕГЭ по Математике (профиль)
Сторона квадрата, лежащего в основании прямоугольного параллелепипеда 
равна 6, а боковое ребро равно 10. Точка 
— середина ребра 
на ребре 
отмечена точка 
так, что 
а) Докажите, что плоскость 
делит ребро 
в отношении 1 : 9, считая от точки 
б) Найдите угол между плоскостями 
и 
Решение:
а) Обозначим точки пересечения диагоналей оснований через 
и 
соответственно:
Плоскость 
пересекает плоскость диагонального сечения 
по прямой 
, 
— точка пересечения 
и 
— точка пересечения 
и 
— средняя линия треугольника 
, так как диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам, 
поэтому 
значит 
значит 
- трапеция, в которой 
— средняя линия, так как 
Следовательно, 
Таким образом, 
плоскость 
делит ребро 
в отношении 1 : 9, считая от точки 
б)
— линия пересечения плоскостей AKL и ABC, где 
— точка пересечения прямых 
и 
Проведём в плоскости 
По теореме о трёх перпендикулярах 
и 
— угол между плоскостями 
и 
по двум углам: 
— общий, 
как соответственные при параллельных прямых 
и 
Следовательно 
В треугольнике 
Тогда по теореме косинусов: 
Значит 
В треугольнике 
так как 
как диагонали квадрата, 
Тогда 
Таким образом, 
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) или имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), или при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов
Ответ: 
Источник: Сборник Лысенко Ф.Ф. (Легион)