- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 78654
Задание №78654 ЕГЭ по Математике (профиль)
В правильной треугольной призме 
высота 
в 1,5 раза больше стороны 
основания 
Через прямую 
перпендикулярно плоскости 
провели плоскость 
а) Докажите, что плоскость 
делит ребро 
в отношении 1:2.
б) Найдите угол между плоскостями 
и 
Решение:
а)
Проведем высоту в 
(назовем ее 
).
Проведем высоту в (назовем ее 
).
(
) перпендикулярна прямой 
и поэтому 
(так как 
принадлежит (
)).
Точка 
- это точка пересечения плоскости 
и прямой 
перпендикулярна прямой 
и поэтому 
(так как 
принадлежит (
)).
Так как плоскость перпендикулярна 
то 
Рассмотрим 
и 
:
Пусть угол 
тогда 
а 
Получаем 
и 
подобны (по двум углам: 
):
Пусть 
тогда 
По теореме Пифагора найдем 
в 
Тогда 
Получаем: 
Ч. т. д.
б) Проведен перпендикуляр 
к плоскости 
- высота в правильном треугольнике 
- высота, медиана и биссектриса, следовательно 
Рассмотрим 
и 
- подобны по двум углам (
- общий, 
):
(По теореме Пифагора 
).
По теореме о трех перпендикулярах 
→ угол между плоскостью 
и (
) = 
- искомый.
(По теореме Пифагора найдем 
Получаем 
Ответ: б) 
Источник: Сборник И.В. Ященко