Задание №78694 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:

а) Так как  в 3 раза больше стороны основания, то обозначим сторону основания за тогда Так как по условию у нас правильная пирамида, то в основании данной пирамиды лежат 6 равносторонних треугольников. Получаем, что (так как опирается на диаметр описанной окружности).
По теореме Пифагора выразим (по условию). Рассмотрим треугольник : по теореме Пифагора:

Рассмотрим треугольник : перпендикулярна и так как данный треугольник равнобедренный (у нас правильная пирамида), то  является высотой, медианой и биссектрисой

По теореме косинусов для треугольника :

- середина Ч. т. д.

б)

Построим прямую так как  - середина, то получаем (по теореме Фалеса), что - середина и - средняя линия треугольника
Через точку (центр основания) проведем прямые  и
пересекает прямую в точке
перпендикулярна линии пресечения плоскостей и
перпендикулярна линии пресечения плоскостей и (По теореме о трех перпендикулярах, -наклонная, а - проекция) → углу между плоскостями и обозначим его за

По теореме Пифагора для треугольника
Тогда по теореме Фалеса - середина тогда

Для треугольника по теореме Пифагора:
Тогда

Тогда

Ответ: б) 

Источник: Сборник И.В. Ященко