Задание №60297 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) 1) Из того, что призма правильная, следует, что АА₁ перпендикулярна плоскости (A₁B₁C₁), значит АА₁ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, и прямой FB₁.
2) Т.к. призма правильная, то треугольник A₁B₁C₁ - равносторонний. Следовательно, медиана B₁F совпадает с высотой, следовательно B₁F перпендикулярна и A₁C₁, и АА₁(из п. 1). Из этого по признаку перпендикулярности прямой и плоскости следует, что B₁F перпендикулярна плоскости (AA₁C₁), значит B₁F перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности AF. Следовательно, треугольник, являющийся сечением призмы данной плоскостью, прямоугольный. Ч.т.д.

б) 1) Т.к. призма правильная, то плоскости оснований призмы параллельны. Значит, угол между плоскостью сечения и (ABC) равен углу между плоскостью сечения и A₁B₁C₁.
2) Т.к. B₁F ⊥ AF (из пункта а), и B₁F - линия пересечения плоскости сечения и основания (A₁B₁C₁), то угол между плоскостью сечения и и плоскостью (A₁B₁C₁) равен углу AFA₁.
3) Таким образом, из прямоугольного треугольника АFA₁ находим: 

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) или имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), или при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б) 

Источник: NeoFamily