Задание №60297 ЕГЭ по Математике (профиль)
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания равна 6, а боковое ребро 8. Через точки А, B1 и середину F ребра A1C1 проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение призмы данной плоскостью является прямоугольным треугольником.
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC.
Решение:
а) 1) Из того, что призма правильная, следует, что АА1 перпендикулярна плоскости (A1B1C1), значит АА1 перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, и прямой FB1.
2) Т.к. призма правильная, то треугольник A1B1C1 - равносторонний. Следовательно, медиана B1F совпадает с высотой, следовательно B1F перпендикулярна и A1C1, и АА1(из п. 1). Из этого по признаку перпендикулярности прямой и плоскости следует, что B1F перпендикулярна плоскости (AA1C1), значит B1F перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности AF. Следовательно, треугольник, являющийся сечением призмы данной плоскостью, прямоугольный. Ч.т.д.
б) 1) Т.к. призма правильная, то плоскости оснований призмы параллельны. Значит, угол между плоскостью сечения и (ABC) равен углу между плоскостью сечения и A1B1C1.
2) Т.к. B1F ⊥ AF (из пункта а), и B1F - линия пересечения плоскости сечения и основания (A1B1C1), то угол между плоскостью сечения и и плоскостью (A1B1C1) равен углу AFA1.
3) Таким образом, из прямоугольного треугольника АFA1 находим: 
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) или имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), или при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов
Ответ: б) 
Источник: NeoFamily