- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 38416
Задание №38416 ЕГЭ по Математике (профиль)
Грань ABCD куба 
является вписанной в основание конуса, а сечением конуса плоскостью 
является круг, вписанный в четырёхугольник 
a) Высота конуса равна 
ребро куба равно а. Докажите, что 
б) Найдите угол между плоскостями 
и 
где 
- вершина конуса.
Решение:
а) Радиус основания конуса равен половине диагонали квадрата A
то есть равен 
Радиус окружности, вписанной в 
равен половине стороны этого квадрата, то есть 
следовательно,
Так как 
то 
б) Найдем линию пересечения плоскости 
с плоскостью 
Для этого найдем точку пересечения прямой 
с плоскостью 
- это точка 
Тогда 
- искомая линия пересечения. Пусть 
Тогда по ТТП 
Следовательно, 
- угол между 
и 
Из 
по теореме Пифагора
По свойству высоты, опущенной из вершины прямого угла треугольника, получаем
Тогда из 
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) или имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), или при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов
Ответ: б) 
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ, Ященко)