- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 228
Задание №228 ЕГЭ по Математике (профиль)
Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 имеют длину 6. Точки M и N – середины рёбер AA1 и A1C1 соответственно.
а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB1.
Решение:
а) Пусть K - середина AC, тогда 
(ABC - правильный треугольник)
- прямоугольный (выполняется теорема Пифагора)
- прямоугольный
б) Пусть 
NH перпендикулярен плоскости AA1B1.
Из этого следует, что MH - проекция MN на плоскость AA1B1.
(по теореме о трёх перпендикулярах).
Из этого следует, что 
- искомый.
Рассмотрим 
- прямоугольный.
где h - высота 
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) или имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), или при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов
Ответ: 
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ, Ященко)