Задание №228 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:

а) Пусть K - середина AC, тогда  (ABC - правильный треугольник)

- прямоугольный (выполняется теорема Пифагора)

- прямоугольный
б) Пусть NH перпендикулярен плоскости AA₁B₁.
Из этого следует, что MH - проекция MN на плоскость AA₁B₁.
(по теореме о трёх перпендикулярах).
Из этого следует, что  - искомый.

Рассмотрим  - прямоугольный.

где h - высота 

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) или имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), или при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: 

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ, Ященко)