Задание №38582 ЕГЭ по Математике (профиль)

Тема : Объемы

Раздел: Стереометрия второй части

14 линия

Не выполнено

В правильной шестиугольной призме АВСDЕFА₁В₁С₁D₁Е₁F₁ сторона основания АВ равна 4, а боковое ребро АА₁ равно Формула На ребре DD₁ отмечена точка М так, что Плоскость параллельна прямой А₁F₁ и проходит через точки М и Е.
а) Докажите, что сечение призмы АВСDЕFА₁В₁С₁D₁Е₁F₁ плоскостью Формула — равнобедренная трапеция.
б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка F, а основанием — сечение призмы АВСDЕFА₁В₁С₁D₁Е₁F₁ плоскостью

Решение:
а) Возьмем на ребре Формула точку N так, чтобы прямые MN и CD были параллельны. Тогда прямая MN параллельна стороне Прямые BE и AF параллельны, а значит, отрезки MN и BE параллельны. Таким образом, четырехугольник BNME - трапеция, так как Формула Поскольку

трапеция BNME равнобедренная.

б) Рассмотрим проекцию призмы на плоскость, перпендикулярную прямой AF, (см. нижний рис.). Расстояние от точки F до плоскости Формула равно расстоянию от точки С до плоскости α. Найдем это расстояние, учитывая, что

откуда Тогда высота будет равна

Площадь трапеции BNME можно найти по формуле Формула где x - высота трапеции. Зная, что получаем:

Отсюда находим площадь трапеции BNME:

Тогда

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) или имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), или при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б) 36

Источник: Сборник И.В. Ященко