Задание №38353 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Обозначим - высота призмы. Тогда объем призмы равен:

Проведем Тогда  - призма, в основании которой лежит прямоугольник, а высота этой призмы равна Следовательно, ее объем равен:

Пусть    Тогда:

Тогда получаем:

Значит,

- треугольная пирамида, высота которой, проведенная из вершины  равна  Следовательно, ее объем равен:


Следовательно, объем многогранника образованного плоскостью  равен:

Тогда объем оставшейся части равен:

Следовательно,

Что и требовалось доказать.

б) Пусть Определим, возможен ли такой случай, учитывая данные. Этому случаю соответствует рисунок, приведенный в решении пункта а). Используя обозначения пункта а), получаем:

Тогда:





Следовательно,

Следовательно, этот случай невозможен, так как 
Пусть  Проверим возможность такого случая. Рассмотрим рисунок, соответствующий этому случаю:








Тогда:

Этот случай является единственно возможным. По условию  Следовательно,

Тогда можем найти высоту призмы:

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) или имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), или при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б) 4

Источник: Сборник И.В. Ященко