Задание №38183 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Прямая лежит в плоскости параллельной плоскости Следовательно, прямые и не имеют общих точек, а поскольку эти прямые лежат в одной и той же плоскости они параллельны. Тогда по теореме Фалеса точка - середина ребра Аналогично точка - середина ребра Таким образом, отрезок - средняя линия треугольника Отсюда следует, что площадь треугольника составляет четверть площади треугольника а тогда площадь четырёхугольника составляет площади треугольника

б) Пусть отрезок - высота пирамиды Прямые и параллельны, а точка - середина отрезка значит, отрезок является средней линией треугольника и
Объём пирамиды равен:
Объём пирамиды равен:
Значит, объем пирамиды равен:

Пирамиды и имеют общую высоту, равную расстоянию от точки до плоскости Пусть - площадь треугольника тогда площадь четырёхугольника равна
Объем пирамиды равен  С другой стороны, он равен  откуда
Объём пирамиды равен

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) или имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), или при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б) 

Источник: Сборник И.В. Ященко