Задание №19293 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:

а) 1) Построим данное сечение: 

1) Проведем прямую в плоскости 

2) Проведем прямую в плоскости 

3) Проведем  в плоскости 

4) Проведем  в плоскости 

5) Четырехугольник  - искомое сечение.

2) Четырехугольник  - параллелограмм, так как  так как лежат в параллельных гранях призмы.

3) Рассмотрим по теореме Пифагора  Так как L - середина  то  следовательно

4)  - параллелограмм, соседние стороны которого равны (), следовательно,  - ромб, ч.т.д. 

б) 1) Введем систему координат из точки D. Тогда координаты точек:  

2) Плоскость задана уравнением  где  так как плоскость не проходит через начало координат. Составим уравнение плоскости  составив и решив систему трех уравнений:
откуда Тогда уравнение плоскости или 

3) Тогда расстояние от точки D до плоскости  равно высоте искомой пирамиды и равно 

4) Найдем диагонали ромба    (по теореме Пифагора в ).   (диагонали равны, так как  - квадрат из-за того, что призма правильная). 

5)   (площадь ромба равна половине произведения его диагоналей).

6) Объем пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту.  

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) или имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), или при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: 32

Источник: Сборник Лысенко Ф.Ф. (Легион)