Задание №15972 ЕГЭ по Математике (профиль)

Тема : Объемы

Раздел: Стереометрия второй части

14 линия

Не выполнено

Точки A, B, C лежат на окружности основания конуса с вершиной Q, отрезок AB – диаметр этой окружности. Угол между плоскостью основания и образующей конуса – Формула

.
а) Докажите, что Формула

б) Найдите объем тетраэдра Формула

Решение:
а) Пусть О – центр основания конуса, Формула − равносторонний треугольник. Пусть a – сторона этого треугольника, тогда

1) теорема косинусов для треугольника AQC.
2) теорема косинусов для треугольника BQC.
∠BCA−вписанный, опирается на диаметp Формула → (по т. Пифагора) ч.т.д.

б) По условию: Формула

тогда

Найдем площадь лежащего в основании тетраэдра треугольника АВС: Формула

Отрезок QO – высота тетраэдра – высота равностороннего треугольника AQB, следовательно, Формула

Объем тетраэдра: Формула

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) или имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), или при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б) Формула

Источник: NeoFamily