Задание №38533 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Пусть прямые и пересекаются в точке a - высота пирамиды Поскольку пирамида правильная, центр правильного шестиугольника совпадает с точкой Значит, прямая лежит в плоскости Следовательно, плоскость перпендикулярна плоскости

Получаем, что прямая являющаяся прямой пересечения плоскостей и , перпендикулярна плоскости Значит, отрезок является высотой в треугольнике
Рассмотрим правильный шестиугольник Прямые и параллельны, а точка - середина отрезка следовательно, отрезок ОН - средняя линия треугольника и Таким образом, отрезок является медианой и высотой в треугольнике значит, этот треугольник равнобедренный и

б) В пункте а было доказано, что прямая перпендикулярна плоскости следовательно, отрезок является высотой пирамиды
Поскольку отрезок является средней линией треугольника то:


В треугольнике имеем:


Пусть точка - середина отрезка Тогда средняя линия треугольника параллельна прямой а значит, и прямой CD. Значит, расстояние от точки до прямой равно расстоянию от точки до прямой и равно 3/4 расстояния между прямыми и
Площадь треугольника равна
Объём пирамиды равен

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) или имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), или при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б) 

Источник: Сборник И.В. Ященко