Задание №37804 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Заметим, что прямые и параллельны, следовательно, плоскость α параллельна прямой CD и пересекает плоскости BCD и MCD по прямым параллельным прямой CD. Одна из этих прямых BE параллельная стороне CD, а вторая MN параллельная стороне CD, где точка N лежит на ребре Таким образом, сечением является четырехугольник BEMN, в котором прямые BE и MN параллельны, и 
При этом, и следовательно, и, значит, BEMN - равнобедренная трапеция.

б) Рассмотрим сечение призмы, проходящее через точки P, Q, R и S - середины ребер и соответственно. Это сечение пересекает отрезки MN и BE в их серединах - точках K и O, соответственно (точка O - центр основания призмы). Очевидно, что указанное сечение перпендикулярно BE, MN и следовательно, отрезок KO - высота трапеции BEMN, а расстояние от точки A₁ до плоскости α равно расстоянию до нее от точки Q. Из точки Q на прямую KO опустим перпендикуляр следовательно, отрезки QH и BE перпендикулярны, а значит, отрезок QH перпендикулярен плоскости α и является расстоянием от точки Q до плоскости α, то есть равен высоте пирамиды

Пусть G - точка пересечения QH и PS. Заметим, что прямоугольные треугольники KSO, GHO и GPQ подобны по двум углам. Далее имеем:

откуда получаем



Тогда
 
следовательно,



Таким образом, а значит,


Итого:

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) или имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), или при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ:

Источник: Сборник И.В. Ященко