- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 37945
Задание №37945 ЕГЭ по Математике (профиль)
В прямоугольный треугольник АВС с прямым углом А вписана окружность с центром в точке О и радиусом R. К этой окружности параллельно прямой АВ проведена касательная, которая пересекает стороны ВС и АС в точках D и Е соответственно. В треугольник СDЕ вписана окружность с центром в точке 
и радиусом r. Прямые 
и АВ пересекаются в точке Р.
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь треугольника АВС, если R = 5, r = 3.
Решение:
а)
- биссектриса угла С.
Биссектриса угла делит сторону пропорционально боковым сторонам, то есть:
А из прямоугольного треугольника АВС:
что и требовалось доказать.
б) С помощью радиусов вычисляем стороны треугольника.
Свойство касательных: 
Теорема Пифагора:
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов
Ответ: б) 
Источник: Сборник И.В. Ященко