- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 37739
Задание №37739 ЕГЭ по Математике (профиль)
Точки А1, В1, С1 - середины сторон соответственно ВС, АС и AB остроугольного треугольника АВС.
а) Докажите, что окружности, описанные около треугольников А1СВ1, А1ВС1 и В1АС1, пересекаются в одной точке.
б) Известно, что 
и 
Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершины которого - центры окружноcтей, описанных около треугольников А1СВ1, А1ВС1 и В1АС1.
Решение:
а) Пусть М - отличная от 
точка пересечения окружностей (двух), описанных около треугольников 
и 
Четырёхугольник 
вписан в окружность, поэтому сумма его противолежащих углов равна 
выразим 
Аналогично для четырёхугольника 
Найдём 
Сумма углов любого треугольника равна 
тогда:
Т. к. у четырёхугольника 
сумма противоположных углов равна 
(
а значит, и 
), значит, он тоже вписанный в окружность.
Следовательно, точка М лежит и на описанной окружности (третьей) треугольника 
Значит, все три окружности пересекаются в одной точки 
Что и требовалось доказать.
б) 
найти r окружности, вписанной в 
где 
- центры окружностей, описанных около 
и 
соответственно:
Радиус окружности вписанной в 
можно найти по формуле:
По условию 
тогда и 
значит, 
равнобедренный 
- диаметр окружности, описанной около равнобедренного треугольника.
Поэтому отрезок 
(т. к. 
- вписанный,
опирающийся на диаметр, а значит, прямоугольный), значит, СМ тоже диаметр (т. к. 
), описанный около треугольника 
(
- общая, 
), тогда и соответствующие стороны равны, они же диаметры окружностей: 
Аналогично для диаметров АМ и ВМ, тогда 
Получаем три равнобедренных треугольника 
у которых точки 
- середины сторон (как центры окружностей на диаметрах), тогда 
- средние линии, они равны половине соответствующих оснований, найдем их:
Найдем периметр 
По формуле Герона найдём площадь 
Полупериметр равен:
Площадь равна:
Найдём искомый радиус r:
Ответ: 6) 2,4.
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов
Ответ: б) 2,4
Источник: Сборник И.В. Ященко