- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 38570
Задание №38570 ЕГЭ по Математике (профиль)
Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке С. Вершины А и В равнобедренного прямоугольного треугольника АВС с прямым углом лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая АС вторично пересекает большую окружность в точке Е, а прямая ВС вторично пересекает меньшую окружность в точке D.
а) Докажите, что прямые AD и ВЕ параллельны.
б) Найдите ВС, если радиусы окружностей равны 
и 15.
Решение:
а) Две окружности разного радиуса касаются внешним образом в точке C, причем 
. Также 
так как AD – диаметр первой окружности и 
, так как BE – диаметр второй окружности. Далее, O1D = O1C как радиусы, значит, 
(как вертикальные), 
(так как треугольник BCO2 –равнобедренный). Следовательно, 
Эти же углы являются накрест лежащими для прямых AD, BE и секущей BD. Значит, 
по признаку параллельности прямых.
б) По условию задания 
тогда 
Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD. Пусть 
Тогда:
Рассмотрим подобные треугольники BCE и DCA (по двум углам), для которых запишем отношение: 
Значит, 
По условию задания 
следовательно, 
и
И отрезок BC, равен: 
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов
Ответ: б) 7,5
Источник: Сборник И.В. Ященко