Задание №37471 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Пусть  Так как  - биссектриса угла  то по свойству биссектрисы

Что и требовалось доказать.

б) Проведем радиусы и  в точки касания окружностей со стороной  Большая окружность вписана в прямоугольную трапецию  следовательно, ее радиус  равен  Меньшая окружность вписана в прямоугольный  следовательно, ее радиус  равен 
как прямоугольные с общим острым углом. Следовательно, если  то

Следовательно,

С другой стороны,
При этом  Следовательно,

Тогда искомая площадь равна:

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б) 270

Источник: Сборник И.В. Ященко