Задание №38191 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
- точка пересечения и
Обозначим:  – точка пересечения и – точка пересечения и

а) Доказать: 

- как вписанные углы окружности опирающиеся на равные дуги  (равны хорды стягивающие дуги).
Т.к.  то
Рассмотрим  и в них - вертикальные, - совпадающие с вписанными углами. Сумма углов в треугольнике равна  значит и третьи углы равны 
В  является медианой и высотой, значит треугольник равнобедренный,  медиана, тогда Что и требовалось доказать.
б)  Найти:

В ΔАВТ ВК биссектриса (∠АВЕ=∠КВТ, как совпадающие с вписанными опирающимися на равные дуги) и высота (∠ВКТ=90°), значит и медиана, треугольник равнобедренный, боковые стороны равны АВ=ВТ. Площадь ΔАВТ будем искать как половину произведения его сторон на синус угла между ними:

Прямая ЕС пересекает прямые АС и ЕD, образованные накрест лежащие углы равны ∠АСЕ=∠СЕD (как вписанные опирающиеся на равные дуги), значит АС||ED. КЕ секущая к этим же прямым, накрест лежащие углы равны ∠АКЕ=∠КЕD=90°.
Треугольник ВЕD – прямоугольный (∠КЕD=90°) вписан в окружность, значит его гипотенуза является диаметром окружности D=2R=BD=6.
По теореме синусов найдём 

Найдём 


Найдём 


Из прямоугольного ΔМТС найдём МТ:



Найдём 

Найдём 

Найдём площадь треугольника АВТ:

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: 

Источник: Сборник И.В. Ященко