Задание №38436 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
   - точка пересечения  и
Обозначим:  - точка пересечения  и   - точка пересечения  и 

а) Доказать:

- как вписанные углы окружности, опирающиеся на равные дуги  (равные хорды, стягивающие дуги).
Т. к.  то 
Рассмотрим  и  в них  - вертикальные,  - совпадающие с вписанными углами. Сумма углов в треугольнике равна  значит и третьи углы равны 
В   является медианой и высотой, значит, треугольник равнобедренный,  медиана, тогда 
Что и требовалось доказать.

б)  Найти: 

В   биссектриса ( как совпадающие с вписанными опирающимися на равные дуги) и высота  значит, и медиана, треугольник равнобедренный, боковые стороны равны: 
Площадь  будем искать как половину произведения его сторон на синус угла между ними:

Прямая  пересекает прямые  и  образованные накрест лежащие углы равны  (как вписанные опирающиеся на равные дуги), значит,   - секущая к этим же прямым, накрест лежащие углы равны 
Треугольник - прямоугольный  вписан в окружность, значит, его гипотенуза является диаметром окружности 
По теореме синусов найдем 



Найдем 


Найдем 


Из прямоугольного  найдем 





Найдем 

Найдем 

Найдем площадь треугольника 

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б)

Источник: Сборник И.В. Ященко