- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 38536
Задание №38536 ЕГЭ по Математике (профиль)
Две окружности касаются внутренним образом в точке 
Вершины 
и 
равнобедренного прямоугольного треугольника 
с прямым углом 
лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая 
вторично пересекает большую окружность в точке 
а прямая 
вторично пересекает меньшую окружность в точке 
а) Докажите, что прямые 
и 
параллельны.
б) Найдите 
если радиусы окружностей равны 3 и 4.
Решение:
а) Пусть 
- общая касательная двух окружностей, причём точки 
и 
лежат по одну сторону от прямой 
Тогда по теореме об угле между касательной и хордой 
Значит, прямые 
и 
параллельны, поскольку соответственные углы 
и 
при пересечении этих прямых прямой 
равны.
б) Поскольку угол 
прямой, 
и 
- диаметры меньшей и большей окружностей соответственно. Прямоугольные треугольники 
и 
подобны по острому углу (
) с коэффициентом подобия 
Пусть 
тогда 
В прямоугольном треугольнике 
откуда 
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов
Ответ: б) 4,8
Источник: Сборник И.В. Ященко