Задание №38298 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Окружность с центром C касается АВ в точке D, так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Отрезки   и равны как радиусы, поэтому треугольник - прямоугольный и равнобедренный, значит,

В равнобедренном треугольнике проведём биссектрису из вершины Обозначим через её точку пересечения с хордой
Треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, 
Отсюда получаем, что
Таким образом, в треугольнике точка лежит на пересечении биссектрис углов и то есть - центр окружности, вписанной в треугольник поэтому точки и совпадают. Значит, точка лежит на отрезке Аналогично доказывается, что точка лежит на отрезке б) Треугольник – прямоугольный (по условию) со сторонами   По теореме Пифагора, имеем:

Площадь треугольника

откуда

и  (радиусы одной и той же окружности).
Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник с катетами и острым углом 45 градусов. Имеем:

Расстояние от точки до прямой равно высоте равнобедренного прямоугольного треугольника проведенной из точки

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б) 

Источник: Сборник И.В. Ященко