Задание №37654 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Пусть - углы при вершинах и треугольника соответственно, - отличная от точка пересечения окружностей, описанных около треугольников и

Четырёхугольник вписан в окружность, поэтому
Аналогично  Значит, поэтому четырёхугольник - вписанный. Следовательно, точка лежит на описанной окружности треугольника

б) Отрезок - диаметр окружности, описанной около равнобедренного треугольника поэтому отрезок перпендикулярен отрезку Значит, - диаметр окружности, описанной около треугольника Аналогично - диаметр окружности, описанной около треугольника Центры этих трёх окружностей - середины отрезков и По теореме о средней линии треугольника стороны треугольника с вершинами в центрах трёх указанных окружностей соответственно параллельны сторонам треугольника Значит, треугольник с вершинами в центрах этих окружностей подобен треугольнику с коэффициентом
Пусть - радиус окружности, вписанной в треугольник Тогда:


Следовательно, искомый радиус равен:

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: 

Источник: Сборник И.В. Ященко