Задание №38070 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Окружность с центром касается в точке так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Отрезки и равны как радиусы, поэтому треугольник - прямоугольный и равнобедренный, значит,

В равнобедренном треугольнике проведём биссектрису из вершины Обозначим через её точку пересечения с хордой
Треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, 

Отсюда получаем, что

Таким образом, в треугольнике точка лежит на пересечении биссектрис углов и то есть - центр окружности, вписанной в треугольник поэтому точки и совпадают. Значит, точка лежит на отрезке Аналогично доказывается, что точка лежит на отрезке

б) Из треугольника по теореме Пифагора находим, что

Так как  то

Таким образом,

Из треугольника CEF находим, что 

Так как прямые и совпадают, то расстояние от точки до прямой равно высоте равнобедренного прямоугольного треугольника проведённой из вершины то есть

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б) 

Источник: Сборник И.В. Ященко