- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 15978
Задание №15978 ЕГЭ по Математике (профиль)
Окружность с центром 
построенная на катете 
прямоугольного треугольника 
как на диаметре, пересекает гипотенузу 
в точках 
и 
Касательная, проведённая к этой окружности в точке 
пересекает катет 
в точке 
a) Докажите, что прямые 
и 
перпендикулярны.
б) Прямая 
пересекает прямую 
в точке 
Найдите 
если 
Решение:
a) Так как отрезок 
перпендикулярен радиусу 
(см. рис.), то 
и 
являются отрезками касательных, проведённых из одной точки. Следовательно, 
Треугольники 
и 
равны по 3-му признаку равенства треугольников. Значит, точки 
и 
расположены симметрично относительно прямой 
Это означает, что 
перпендикулярно 
в силу свойств осевой симметрии.
б) Пусть 
Тогда 
Так как 
как радиусы окружности,то треугольник 
- равнобедренный и 
Значит, 
Тогда 
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов
Ответ: 7
Источник: Сборник Лысенко Ф.Ф. (Легион)