Задание №81142 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Да, например:
().
б) Допустим,
Рассмотрим сложение A и B в столбик:
В разряде единиц сумма двух цифр оканчивается на 9 и не превосходит 18, значит, она равна 9, и переноса в десятки нет.В разряде десятков сумма двухцифр (без переноса) оканчивается на 9 и не превосходит 18, значит, она равна 9, и переноса в сотни нет. В разряде сотен сумма двух цифр (без переноса) равна 1, переноса в тысячи нет. Представим А, как число состоящее из a сотен, b десятков и с единиц. Тогда В будет состоять из 1 - а сотен, 9 - b десятков и 9 - с единиц. Сумма цифр числа А: а B Если - четная сумма, то - нечетное - четное = нечетное. Если - нечетная сумма, то - нечетное - нечетное = четное.
Таким образом и всегда будут разной четности, следовательно A и B не могут иметь одинаковую сумму цифр.
Также чтобы суммы цифр были равны:

→ противоречие, так как - целое число.
Следовательно, мы не можем представить число 199 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова.
в) Воспользуемся перебором для наименьших 6-ти натуральных чисел:
То есть рассмотрим некую последовательность
Тогда так как суммы цифр у этих чисел равны, то равны их остатки приделении на 9. Так как все числа различны, а отличаться должнына числа, кратные 9, то имеем:
Тогда для суммы всех чисел получаем:

Наименьшая сумма чисел с суммой цифр равной 1:

Наименьшая сумма чисел с суммой цифр равной 2:

Наименьшая сумма чисел с суммой цифр равной 3:

Наименьшая сумма чисел с суммой цифр равной 4:

Наименьшая сумма чисел с суммой цифр равной 5:

Наименьшая сумма чисел с суммой цифр равной 6:

Тогда получаем:
Следовательно, наименьшее число, которое можно представить в виде суммышести различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова, равно 165.

Ответ: а) Да, можно б) Нет, нельзя в) 165

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)