- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 79201
Задание №79201 ЕГЭ по Математике (профиль)
Коля записал на доске 15 различных натуральных чисел, каждое из которых меньше 5000. Петя записал на доске квадраты всех чисел, которые записал Коля. Получилось так, что среднее арифметическое любых трех чисел, которые записал Петя, - целое число. Одно из чисел, записанных на доске, равно 2401.
а) Может ли на доске быть записано число 10816?
б) Может ли на доске быть записано число 40401?
в) Какое наибольшее количество пар одинаковых чисел может быть написано на доске?
Решение:
Числа при деление на 3 могут давать остатки 0, 1 и 2. Тогда их квадраты дают остатки 0, 1 и 1 Таким образом, чтобы сумма 3 квадратов делилась на 3 необходимо, чтобы либо все 3 числа были кратны 3, либо все 3 числа не были кратны 0 (остаток 1).
Так как число 2401 не кратно 3, все другие числа не делиться на 3. Тогда ни Коля, ни Петя не написали числа кратные 3.
а) 
Да, пример. Коля написал: 
Петя написал: 
б) 
А так как у нас в списке числа некратны 3. Нет.
в) 
В начале из двух чисел образовывается пара, потом из 8 чисел выходит 3 пары, из 6 чисел уже 2 пары. 4 степень чисел (5,7,8) будет давать число больше 5000, а значит Коля уже не сможет записывать эти числа.
Ответ: а) да б) нет в) 10 пар
Источник: Сборник И.В. Ященко