Задание №79200 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
Числа при деление на 3 могут давать остатки 0, 1 и 2. Тогда их квадраты дают остатки 0, 1 и 1. Таким образом, чтобы сумма 3 квадратов делилась на 3 необходимо, чтобы либо все 3 числа были кратны 3, либо все 3 числа не были кратны 0 (остаток 1). Так как число 625 не кратно 3, все другие числа не делиться на 3. Тогда ни Коля, ни Петя не написали числа кратные 3.
а) 
Да, например.
Коля написал: 1, 2, 3, 4, 5, ...,17, 18, 19, 20, 25, 26, 28, 104.
Петя написал: 1, 4, 16, 25, ..., 625, 676, 784, 10816.
б)  А так как у нас в списке числа не кратны 3, нет.
в)
В начале из двух чисел образовывается пара, потом из 8 чисел выходит 3 пары, из 6 чисел уже 2 пары, а из 4 чисел выходит 1 пара, и только такое количество пар в дальнейшем мы можем получать из других чисел, так как квадрат чисел (больше 5 и не кратно 3). Коля будет давать число больше 1000 у Пети и уже его Коля не сможет записать на доску. 625 последняя 4 степень числа, которая меньше 1000, а все остальные 4 степени чисел больше 1000. В итоге выходит 12 пар.

Ответ: а) да, б) нет, в) 12 пар

Источник: Сборник И.В. Ященко