Задание №81138 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Приведём пример случая, когда есть 8 различных чисел, никакие два из которых не имеют общего делителя, большего 1. Чтобы это условие выполнялось, запишем набор из простых чисел:

Получаем набор различных натуральных чисел, у которых нет общего делителя, больше 1 и сумма равна 65 → Да, может.
б) Нам необходимо получить четную сумму, но в наборе может быть толькоодно четное число, иначе у двух чисел будет общий делитель 2. Значит у нас получается набор из одного четного числа и 7 нечетных:
сумма нечетная(а нам необходимо получить 62 - четное).
Тогда пусть все числа нечетные и наименьшие:
Нет, не может.
в) Из пункт а мы выяснили, что в наборе возможно только одно четное число, тогда сумма для наименьших возможных чисел равна:

А если у нас нет четных чисел, то с помощью пункта б получаем:

→ Наименьшая возможная сумма равна 59.

Ответ: а) Да, может б) Нет, не может в) 59

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)