Задание №38289 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
Пусть масса детали нового типа равна  кг. Тогда масса детали старого типа равна  кг. Пусть из 64 кг можно сделать  деталей старого типа. По условию из 63 кг можно сделать на две детали нового типа больше, то есть  Тогда из условия  где  получаем:


Так  и  то

Значит:





Так как  и  - массы деталей, то   а значит, 
Тогда необходимо решить систему




Но  соответственно, 
а) Пусть такое возможно и масса новой детали  кг. На изготовление 15 деталей 63 кг хватит, на изготовление 16 деталей - нет. Значит,


Таким образом,  Значит такого не может быть.
б) Пусть такое возможно и масса новой детали  кг. Аналогично пункту а:


Таким образом,  Значит такого не может быть.
в) Пусть  - число новых деталей массой  кг, которое фабрика может выпустить из 80 кг материала. Тогда




Так как фабрика не может выпустить  деталь из 80 кг материала, то не существует такого  что




По доказанному ранее  Значит,

Таким образом,  так как  - натуральное число. Заметим, что должно найтись такое  что 
- количество деталей старого типа, которое можно сделать из 64 кг материала. Из 63 кг материала можно сделать  деталь нового типа. По доказанному ранее должно выполняться:

Значит, между числами  и  должно быть два натуральных числа:  и 

Оценим 




Оценим 



Получаем

Тогда между числами  и  нет двух натуральных чисел. Поэтому  получить нельзя.

Приведём пример на  Заметим, что не существует такого  что  по доказанному ранее. Осталось показать, что существует  такое, что, во-первых  во-вторых, найдется такое  что из 64 кг можно будет сделать  деталей старого типа и из 63 кг можно будет сделать  детали нового типа:

Возьмём  Тогда

При этом  Значит, наименьшее возможное  равно 27.

Верно получены все обоснованные ответы в пунктах а, б и в – 4 балла
Верно получены обоснованные ответы в пунктах а и в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах б и в – 3 балла
Верно получен обоснованный ответы в пункте в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а и б, пункт в не решен – 2 балла
Верно получен обоснованный ответ в пункте а, либо получен верный обоснованные ответ в пункте б – 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше – 0 баллов

Ответ: а) нет; б) нет; в) 27

Источник: Сборник И.В. Ященко