Задание №38045 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Да, если за ход брать по одному камню из первых двух коробок и один камень класть в третью, а один в первую, пока число камней в первых двух коробках не станет равным. Затем, все пары камней из первых двух коробок класть в третью. В итоге все камни переложатся в третью коробку и их число будет равно
б) По числу камней это возможно. Проверим, возможно ли этого достичь, перекладывая пары камней по коробкам.
Пусть в какой-то момент в коробках оказалось a, b и с камней соответственно. Тогда после одного хода в коробках могло оказаться либо   и  камня, либо   и  камней, либо   и   камней соответственно. Заметим, что разность между числами камней во второй и в первой коробках либо не изменилась, либо изменилась на 3. Сначала разность чисел камней во второй и в первой коробках равнялась А затем она должна была бы стать равной  Число 9 кратно трем, но число 50 не кратно трем, следовательно, как бы мы ни перекладывали по камни (в соответствии с условием задания), в коробках не получится распределение камней: 100, 50 и 49.
в) В любой момент разность чисел камней в первой и во второй коробках равна  где - целое число. Следовательно, если в первой коробке 2 камня, то во второй коробке камней. Значит, во второй коробке оказалось не меньше 2 камней, а в третьей коробке не больше камней.

Верно получены все обоснованные ответы в пунктах а, б и в - 4 балла
Верно получены обоснованные ответы в пунктах а и в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах б и в - 3 балла
Верно получен обоснованный ответ в пункте в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а и б, пункт в не решен - 2 балла
Верно получен обоснованный ответ в пункте а, либо получен верный обоснованный ответ в пункте б - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Ответ: а) да; б) нет; в) 195

Источник: Сборник И.В. Ященко