Задание №233 ЕГЭ по Математике (профиль)

Тема : Сюжетные задачи
Раздел: Задачи на теорию чисел
19 линия
№233
Не выполнено
Сообщить об ошибке

В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. В каждой школе тест писали по крайней мере 2 учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а) Мог ли средний балл в школе №1 уменьшиться в 10 раз? 
б) Средний балл в школе №1 уменьшился на 10%, средний балл в школе №2 также уменьшился на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе №2 равняться 7? 
в) Средний балл в школе №1 уменьшился на 10%, средний балл в школе №2 также уменьшился на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.

Решение:
а) Да, средний балл мог уменьшится в 10 раз.
Пусть в школе №1 тест писали два учащихся.
Один из них набрал 1 балл, а второй набрал 19 баллов. Тогда средний балл в школе №1 будет равен 10.
Теперь второй ученик входит в школу №2, тогда средний балл в школе №1 будет 1.
Итог: уменьшился в 10 раз.
б) Определим переменные:
m - количество учеников в школе №2
B - средний балл в школе №2
u - количество баллов ученика, который перешёл в школу №2.
Получаем,
Формула
ФормулаФормула
Формула
Пусть Формула тогда Формула
Формула не делится на 10Формулаполучаем противоречие, так как u - натуральное число по условию.
Итог: нет, изначальный средний балл не мог быть равен 7.
в) Пусть А - средний балл в школе №1.
Тогда ФормулаФормулаФормула
Формула
ФормулаФормула
Если Формула или Формула то Формула не делится на 10.
Если Формула или Формула то Формула
ФормулаA должно быть дробным, а это противоречит условию.
Рассмотрим Формула тогда Формула
Получаем Формула
Такой случай возможен:
в школе №1 6 учеников: Формула средний балл равен 2.
в школе №2 3 ученика: каждый получил по 5 баллов
ученик, который перешёл, получил 3 балла.

Верно получены все обоснованные ответы в пунктах а, б и в - 4 балла
Верно получены обоснованные ответы в пунктах а и в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах б и в - 3 балла
Верно получен обоснованный ответы в пункте в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а и б, пункт в не решен - 2 балла
Верно получен обоснованный ответ в пункте а, либо получен верный обоснованные ответ в пункте б - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Ответ: а) Да; б) Нет; в) 5

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ, Ященко)