Задание №37406 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Чтобы узнать, возьмем максимальное количество учеников в классе, равное 28, и вычислим 22% от этого числа:
Таким образом, максимальное количество девочек в классе - 6. Значит, 4 девочки вполне возможно.

б) Рассмотрим случай, когда в классе 10 учеников (минимум) и к ним приходит новая девочка:
- учеников всего.
Если было 4 девочки, теперь их 5. Доля девочек:
или 
Если было 3 девочки, теперь их станет 4. Доля девочек:
или 
И так далее.
Как мы видим, даже в минимальном случае доля девочек превышает 30%. Значит, ответ - нет.

в) Пусть до прихода новой девочки в классе было n учеников и х девочек. Тогда после прихода новой девочки будет учеников и  девочек. Доля девочек составляет:

Так как это число должно быть целым, мы не можем перебрать возможные значения n от 10 до 28 и проверить, при каком из них доля девочек будет целым числом и наибольшей.
При этом учтем, что максимальная доля девочек до прихода новой девочки составляет 22%, и найдем соответствующее максимальное значение х для каждого n.
После перебора всех возможных вариантов выясняется, что наибольшая доля девочек, которая может составить целое число, равна 25% (для 27 учеников с 6 девочками до прихода новой (смотрите пункт а - 6 девочек при 27 учениках -это максимальное количество девочек при условии, что их не более 22%) и 28 учеников с 7 девочками после): 

Верно получены все обоснованные ответы в пунктах а, б и в – 4 балла
Верно получены обоснованные ответы в пунктах а и в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах б и в – 3 балла
Верно получен обоснованный ответы в пункте в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а и б, пункт в не решен – 2 балла
Верно получен обоснованный ответ в пункте а, либо получен верный обоснованные ответ в пункте б – 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше – 0 баллов

Ответ: а) да; б) нет; в) 25

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ, Ященко)