Задание №37983 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Пусть 6 раз из первых двух коробок переложили камни в третью. Тогда в первой коробке оказалось 106 камней, во второй - 93 камня, а в третьей - 12 камней. Если после этого 3 раза переложить камни из первой и третьей коробок во вторую, то в первой коробке окажется 103 камня, во второй - 99, а в третьей - 9.
б) Если в третьей коробке оказалось 211 камней, то в первой и во второй коробках не осталось камней.
Пусть в какой-то момент в коробках оказалось a, b и с камней соответственно. Тогда после одного хода в коробках могло оказаться либо   и  камня, либо   и  камень, либо   и  камень соответственно. Заметим, что разность между числами камней во второй и в первой коробках либо не изменилась, либо изменилась на 3. Сначала разность чисел камней во второй и в первой коробках равнялась 13. Следовательно, ни в какой момент она не могла стать равной 0. Значит, в этих двух коробках всегда разное число камней. Следовательно, в третьей коробке не могло оказаться 211 камней.
в) В любой момент разность чисел камней в первой и во второй коробках равна , где - целое число. Следовательно, если во второй коробке 4 камня, то в первой коробке  камней. Значит, в первой коробке оказалось не меньше 2 камней, а в третьей коробке не больше 205 камней.
Покажем, как в третьей коробке могло оказаться 205 камней. Пусть 99 раз из первых двух коробок переложили камни в третью. Тогда в первой коробке оказалось 13 камней, во второй - 0 камней, а в третьей - 198 камней. Если после этого 5 раз переложить камни из первой и третьей коробок во вторую, то в первой коробке окажется 8 камней, во второй - 10, а в третьей - 193. Если после этого 6 раз переложить камни из первых двух коробок в третью, то в первой коробке окажется 2 камня, во второй - 4 камня, а в третьей - 205 камней.

Верно получены все обоснованные ответы в пунктах а, б и в - 4 балла
Верно получены обоснованные ответы в пунктах а и в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах б и в - 3 балла
Верно получен обоснованный ответ в пункте в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а и б, пункт в не решен - 2 балла
Верно получен обоснованный ответ в пункте а, либо получен верный обоснованный ответ в пункте б - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Ответ: а) да; б) нет; в) 205

Источник: Сборник И.В. Ященко