Решение:
а) Да, может. Приведём пример.
Обозначим через (s, b, k, m) состояние, в котором на острове s серых, b бурых, k коричневых и m малиновых хамелеонов. Следующая цепочка
преобразований показывает, каким образом в некоторый момент времени на острове может оказаться 16 серых, 25 бурых, 18 коричневых и 27 малиновых хамелеонов:
(20, 21, 22, 23) — начальное состояние;
(19, 20, 21, 26) — встреча серого, бурого и коричневого;
(18, 19, 20, 29) — встреча серого, бурого и коричневого;
(17, 22, 19, 28) — встреча серого, коричневого и малинового;
(16, 25, 18, 27) — встреча серого, коричневого и малинового.
б) Так как после любой встречи количество хамелеонов каждого цвета уменьшается на 1 или увеличивается на 3, то после каждой встречи чётность числа хамелеонов каждого цвета меняется на противоположную. Если хамелеонов бурого цвета будет 86, то количество хамелеонов остальных цветов будет равным нулю, то есть будет чётным. Но это невозможно, так как вначале коричневых было 22 — чётное число, а малиновых было 23 — нечётное число, поэтому количества коричневых и малиновых хамелеонов всегда должны иметь разную чётность.
в) Начальные количества хамелеонов имеют разные остатки от деления на 4. Это свойство сохраняется в любой момент, так как при любой встрече количества трёх видов хамелеонов уменьшаются на 1, а количество четвёртого вида увеличивается на 3 (заметим, что числа −1 и 3 имеют одинаковые остатки при делении на 4, так как −1 = 4 · (−1) + 3 и 3 = 4 · 0 + 3). Следовательно, минимум 0 + 1 + 2 = 3 хамелеона могут быть не бурыми. Значит, бурых будет не более 86 − 3 = 83.
Покажем, каким образом на острове может оказаться 83 бурых хамелеона:
(20, 21, 22, 23);
(19, 24, 21, 22);
(18, 27, 20, 21);
. . .
(0, 81, 2, 3);
(3, 80, 1, 2);
(2, 83, 0, 1).
Верно получены все обоснованные ответы в пунктах а, б и в - 4 балла
Верно получены обоснованные ответы в пунктах а и в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах б и в - 3 балла
Верно получен обоснованный ответы в пункте в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а и б, пункт в не решен - 2 балла
Верно получен обоснованный ответ в пункте а, либо получен верный обоснованные ответ в пункте б - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов
Ответ: а) да; б) нет; в) 83
Источник: Сборник Лысенко Ф.Ф. (Легион)
