- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 37810
Задание №37810 ЕГЭ по Математике (профиль)
У Коли в копилке есть 2-рублёвые, 5-рублёвые и 10-рублёвые монеты. Если взять 20 монет, то среди них обязательно найдётся хотя бы одна 2-рублёвая. Если взять 25 монет, то среди них обязательно найдётся хотя бы одна 5-рублёвая. Если взять 30 монет, то среди них обязательно найдётся хотя бы одна 10-рублёвая.
а) Может ли у Коли быть 50 монет?
б) Какое наибольшее количество монет может быть у Коли?
в) Какая наибольшая сумма рублей может быть у Коли?
Решение:
а) Если у Коли 50 монет, то среди них должно быть минимум 
двух рублевых. Иначе может возникнуть ситуация, когда среди 20 монет не окажется ни одной двухрублевой. По аналогии:
- 5-рублёвых: 
- 10-рублёвых: 
В сумме получаем минимум: 
монет.
б) Пусть n – максимальное число монет. Тогда:
- 2-рублёвых: 
- 5-рублёвых: 
- 10-рублёвых: 
В сумме число монет должно быть 
Получаем уравнение:
в) Очевидно, что максимальная сумма достигается при максимальном числе 10-рублевых монет. Это, в свою очередь возможно при минимальном числе монет, то есть 30. Для этого случая, имеем:
- 2-рублёвых: 
- 5-рублёвых: 
- 10-рублёвых: 
В сумме, получаем: 
рубля.
Верно получены все обоснованные ответы в пунктах а, б и в – 4 балла
Верно получены обоснованные ответы в пунктах а и в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах б и в – 3 балла
Верно получен обоснованный ответы в пункте в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а и б, пункт в не решен – 2 балла
Верно получен обоснованный ответ в пункте а, либо получен верный обоснованные ответ в пункте б – 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше – 0 баллов
Ответ: а) нет; б) 36; в) 182
Источник: Сборник И.В. Ященко