Задание №16560 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Заметим, что рейтинг ресторана – целое число, значит, произведение двух чисел – точный квадрат. Произведение двух чисел от 1 до 10 не превосходит 90. Под это условие попадают квадраты чисел от 1 до 9, т. е. числа 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81. Но числа 1, 25, 49, 64, 81 не представляются в виде произведения двух различных чисел от 1 до 10. Соответственно, для двух критиков может быть не более четырех ресторанов.

б) Рассмотрим варианты:
Рейтинг мог получиться, только если все оценки 1, это противоречит условию.
Рейтинг   → множители так, чтобы оценки было различны, невозможно.
Рейтинг 3:   → множители так, чтобы оценки было различны, невозможно.
Рейтинг  сгруппировать множители так, чтобы оценки было различны, невозможно.
Рейтинг  невозможно.
Рейтинг  возможная ситуация.
Рейтинг   невозможно.
Рейтинг   невозможно.
Рейтинг 9 также не содержит различных множителей для иных комбинаций→ невозможно.
Рейтинг 10 возможен, только если все эксперты выставят 10.
Таким образом, возможен только один ресторан.

в) Из пункта б) выяснилось, что 4 критика может быть для оценки одного ресторана и выполнения условий. Если критиков было больше четырёх, то произведение их оценок должно делиться на пятую степень рейтинга ресторана, однако произведение всех возможных оценок 10! делится только на две пятые степени: степень единицы и степень двойки. Отсюда следует, что, если критиков не меньше пяти, целый рейтинг мог равняться только 1 или 2. Для рейтинга 1 необходимо, чтобы все выставили 1 – противоречит условию, для рейтинга 2 произведение оценок критиков должно быть степенью двойки, то есть могли выставить 1/2/4/8, но необходимо минимум 5 оценок. Следовательно, критиков не могло быть более 4.