Задание №75433 ЕГЭ по Математике (профиль)

Тема : Сюжетные задачи

Раздел: Задачи на теорию чисел

19 линия

Не выполнено

Каждый год в соревнованиях, состоящих из 10 этапов, участвует 10 спортсменов. По итогам каждого этапа один спортсмен занимает первое место, один спортсмен второе и один - третье. В результате ежегодных соревнований каждый спортсмен занимает Формула первых, вторых и третьих мест. В зависимости от мест, занятых спортсменом на всех этапах (одного года), ему присваивается итоговый рейтинг соревнований.
В этом году по итогам 10 этапов каждому спортсмену присваивается Формула очков; чем у спортсмена очков больше, тем рейтинг выше. Если количество очков у спортсменов совпадает, то рейтинги у них одинаковые.
В прошлом году в таких же соревнованиях участвовали те же спортсмены. Но для подведения итогов соревнований рейтинги спортсменов определялись следующим образом: если у спортсмена-1 количество первых, вторых и третьих мест соответственно равно Формула и а у спортсмена-2 - и то рейтинг спортсмена-1 был выше рейтинга спортсмена-2 в следующих случаях:
-
- и
- и
Если количество и первых, и вторых, и третьих мест у спортсменов совпадало, то рейтинги у них были одинаковые.
а) В этом году по итогам соревнований у спортсменов нет совпадающих рейтингов. Если бы рейтинги определялись, как в прошлом году, то у спортсменов бы тоже не было совпадающих рейтингов. Может ли порядок рейтингов спортсменов в этом году совпадать с порядком рейтингов прошлого года?
б) По итогам соревнований этого года получилось, что у любых двух спортсменов нет одинаковых рейтингов. Какая наибольшая разница в очках может быть между двумя наименьшими рейтингами?
в) Каждый год по результатам соревнований вычисляется средний балл Формула для спортсменов, набравших хотя бы одно очко: отношение суммы всех набранных очков к количеству спортсменов, набравших хотя бы одно очко. В следующем году планируется проводить аналогичные соревнования (10 этапов) с участием 10 спортсменов, где каждому из них будут присваиваться Формула очков. Организаторы обсуждают в данной формуле целые значения и такие, что Найдите все пары при которых возможно получить наибольшее количество целых значений среднего балла Формула

Решение:
а) Cnan; bn; cn-Rn=x, где Cn - n-ый спортсмен; an - n-ое количество первых мест; bn - n-ок количество вторых мест; cn - n-ое количество третьих мест; Rn - рейтинг n-го спортсмена.
Да, может, подберём порядок:
C10(0; 0; 0)-R10=0
C9(0; 0; 1)-R9=1
C8(0; 0; 2)-R8=2
C7(0; 0; 3)-R7=3
C6(0; 1; 0)-R6=4
C5(0; 2; 0)-R5=8
C4(0; 3; 0)-R4=12
C3(0; 4; 0)-R3=16
C2(2; 0; 0)-R2=20
C1(8; 0; 4)-R1=84.
б) Rn≠Rk, где Rn - рейтинг n-го спортсмена; Rk - рейтинг k-го спортсмена.
Так как R10<R9<R8<…<R1, значит нужно найти max(R9-R10)→maxR9, minR10.
Возьмём R10=0 и R9=x,тогда, чтобы R9→max, разность между каждым следующим рейтингом должна быть больше либо равна единице, таким образом: R8⩾x+1; R7⩾x+2;… ;R1⩾x+8.
Всего очков Σ=10·10+4·10+1·10=150, так как было 10 этапов, в каждом из которых было по одному первому, второму и третьему месту.
150=Σ⩾0+x+(x+1)+⋯+(x+8)=9x+36→x⩽150-369→x⩽1223→maxx=12.
Проверим: 0+12+13+…+20⩽150→144<150.
Попробуем подобрать пример:
C10(0; 0; 0)-R10=0
C9(1; 0; 2)-R9=12
C8(1; 0; 3)-R8=13
C7(1; 1; 0)-R7=14
C6(1; 1; 1)-R6=15
C5(1; 1; 2)-R5=16
C4(1; 2; 0)-R4=18
C3(1; 2; 1)-R3=19
C2(2; 0; 0)-R2=20
C1(1; 3; 1)-R1=23.
в) Q=ΣN; Q, Σ, N∈Z, где Q - средний балл; Σ - сумма всех возможных очков; N - число спортсменов, набравших хотя бы одно очко.
Так как есть 3 места за каждый из этапов, значит минимальное N будет -3, а максимальное Nбудет-10, так как всего 10 спортсменов, поэтому: 3⩽N⩽10.
Всего очков - Σ=10·10+k1·10+k2·10=10(10+k1+k2), так как было 10 этапов, в каждом из которых было по одному первому, второму и третьему месту.
Так как 1⩽k2<k1⩽9; k1, k2∈Z, значит 130⩽Σ⩽270 и Σ⋮10.
Подберём все числа из промежутка от 130 до 270, проверив число делителей:

$Σ$	$N$
$130 = 2 \cdot 5 \cdot 13$	$5; 10$
$140 = 2^{2} \cdot 5 \cdot 7$	$4; 5; 7; 10$
$150 = 2 \cdot 3 \cdot 5^{2}$	$3; 5; 6; 10$
$160 = 2^{5} \cdot 5$	$4; 5; 8; 10$
$170 = 2 \cdot 5 \cdot 17$	$5; 10$
$180 = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5$	$3; 4; 5; 6; 9; 10$
$190 = 2 \cdot 5 \cdot 19$	$5; 10$
$200 = 2^{3} \cdot 5^{2}$	$4; 5; 8; 10$
$210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$	$3; 5; 6; 7; 10$
$220 = 2^{2} \cdot 5 \cdot 11$	$4; 5; 10$
$230 = 2 \cdot 5 \cdot 23$	$5; 10$
$240 = 2^{4} \cdot 3 \cdot 5$	$3; 4; 5; 6; 8; 10$
$250 = 2 \cdot 5^{3}$	$5; 10$
$260 = 2^{2} \cdot 5 \cdot 13$	$4; 5; 10$
$270 = 2 \cdot 3^{3} \cdot 5$	$3; 5; 6; 9; 10$

Таким образом, получаем 2 раза по N=6:Σ=180; 240
Σ=180=10·(10+k1+k2)→k1+k2=8→k1; k2: (7; 1); (6; 2); (5; 3)
Σ=240=10·(10+k1+k2)→k1+k2=14→k1; k2: (9; 5); (8; 6).

Ответ: а) да; б) 12; в) (7; 1), (6; 2), (5; 3), (9; 5), (8; 6)

Источник: Сборник И.В. Ященко