- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 15953
Задание №15953 ЕГЭ по Математике (профиль)
Тема : Сюжетные задачи
Раздел: Задачи на теорию чисел
Ученики одного класса писали тест. Результатом теста является целое неотрицательное число баллов. Тест считается сданным учеником, если он набрал не менее 75 баллов. Однако результаты были неутешительными, и было принято решение каждому ученику добавить по 4 балла, вследствие чего количество сдавших тест увеличилось.
а) Могло ли после данной послабляющей процедуры случиться так, что средний балл учеников, не сдавших тест, понизился?
б) Могло ли после данной послабляющей процедуры случиться так, что средний балл и учеников, сдавших тест, и учеников, не сдавших тест, понизился?
в) Известно, что первоначально средний балл учеников составил 73, средний балл учеников, сдавших тест, 86, а средний балл учеников, не сдавших тест, – 61. После добавления баллов средний балл участников, сдавших тест, стал 89, а не сдавших – 64. При каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация?
Решение:
а) Пусть было 3 ученика с баллами 92, 74 и 2 балла. Средний балл учеников, не сдавших тест:
баллов. После того, как каждому ученику добавили 4 балла, у учеников баллы изменились следующим образом: 96, 78, 6 Таким образом, средний балл учеников, не сдавших тест, стал 6 баллов. Ответ: да, могло.
б)Рассмотрим ситуацию из пункта а), где средний балл не сдавших учеников понизился. Изучим средний балл учеников, сдавших тест. До добавления баллов средний балл был 92, после добавления -
– балл понизился. Ответ: да, могло.
в) Пусть всего было N учеников, тест сдали a участников, после добавления баллов – b участников. Средний балл после добавления составил (73 + 4) = 77 Составим два уравнения:
а) Пусть было 3 ученика с баллами 92, 74 и 2 балла. Средний балл учеников, не сдавших тест:
баллов. После того, как каждому ученику добавили 4 балла, у учеников баллы изменились следующим образом: 96, 78, 6 Таким образом, средний балл учеников, не сдавших тест, стал 6 баллов. Ответ: да, могло.б)Рассмотрим ситуацию из пункта а), где средний балл не сдавших учеников понизился. Изучим средний балл учеников, сдавших тест. До добавления баллов средний балл был 92, после добавления -
– балл понизился. Ответ: да, могло.в) Пусть всего было N учеников, тест сдали a участников, после добавления баллов – b участников. Средний балл после добавления составил (73 + 4) = 77 Составим два уравнения:
N делится на 25, то есть 
Покажем, что N могло быть 25.
Пример: 2 ученика с баллом 100, 4 ученика с баллом 75, 5 учеников с баллом 88 и 1 ученик с баллом 92 – сдавшие; 5 учеников с баллом 50, 6 учеников с баллом 68, 1 ученик с баллом 62 и 1 – с баллом 73.
| Общий | Сдавших | Несдавших | |
| Средний балл до повышения |  |  |  |
| Средний балл после повышения |  |  |
|
Верно получены все обоснованные ответы в пунктах а, б и в - 4 балла
Верно получены обоснованные ответы в пунктах а и в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах б и в - 3 балла
Верно получен обоснованный ответы в пункте в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а и б, пункт в не решен - 2 балла
Верно получен обоснованный ответ в пункте а, либо получен верный обоснованные ответ в пункте б - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов
Ответ: а) да; б) да; в) 25
Источник: NeoFamily