Задание №78697 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:

а) Так как точка делит сторону в отношении 1 к 2, то можно обозначитьа тогда а Чтобы являлось высотой необходимо, чтобы выполнялась теорема Пифагора для каждого из треугольников ( и ):


Мы видим, что значение совпадает при нахождении по теореме Пифагора для каждого из треугольников - высота. Ч. т. д.
б) Так как - биссектриса, то по ее свойству:  Пусть а
Воспользуемся формулой биссектрисы:




Вспомним формулу радиуса окружности, вписанной в треугольник:
(где - полупериметр треугольника).

Получаем:

Ответ: б) 

Источник: Сборник И.В. Ященко