- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 78404
Задание №78404 ЕГЭ по Математике (профиль)
Точка 
- середина стороны 
ромба 
а) Докажите, что косинус острого угла ромба равен 0,75.
б) На луче 
где 
- высота треугольника 
отметили такую точку 
что в четырёхугольник 
можно вписать окружность. Найдите радиус этой окружности, если 
Решение:
а) Рассмотрим треугольники 
и 
: 
- общая, 
и 
- общий (
(свойство ромба)), получаем, что 
подобен 
(по двум углам):
Воспользуемся теоремой косинуса:
Ч. т. д.
б) Так как по условию в 
можно вписать окружность, то 
(свойство). 
(свойство ромба) 
- равнобедренный. Получаем, что точка 
лежит на серединном перпендикуляре 
(то есть на 
). 
пересекает 
в точке 
- середина 
и по теореме Пифагора в 
Вспомним формулу для нахождения радиуса вписанной окружности:
Рассмотрим 
Тогда по теореме Пифагора найдем 
Получаем 
Ответ: б) 
Источник: Сборник И.В. Ященко