Задание №77086 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:

а) Так как  -ромб (по условию) значит  получаем  - равнобедренный, а значит 
Так как  (условие) и 

Следовательно 
так как  (на крест лежащие) и  (вертикальные).
а площади подобных треугольников относятся друг к другу, как квадрат коэффициента подобия.
Т. е  а также так как  следовательно  - середина 
Аналогично  и - середина 
Проведем диагональ  получаем  ( - ромб).
Так как  - середина  то  - медиана  и она делит  на 2 равновеликих.

аналогично 

Что и требовалось доказать.

б) Соединим точки D и N получим DM и DN.
Рассмотрим треугольник - середина - середина AN т. е - средняя линия треугольника и аналогично - средняя линия и 
Так как пятиугольник  - вписан в окружность, а  можно сделать вывод, что  - трапеция вписанная в окружность, таким образом она равнобедренная. Получаем 
Аналогично  равнобедренная трапеция и 
Так как  а 
Так как  - середина 
Пусть получаем  (так как диагонали у ромба перпендикулярны).
и  (Так как диагонали делятся пополам точкой пересечения).
По теореме Пифагора для треугольника 
 

тогда 

Ответ: 

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)