- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 78680
Задание №78680 ЕГЭ по Математике (профиль)
Окружность с центром в точке 
радиуса 
вписана в угол с вершиной в точке 
равный 120°. Точки 
и 
- точки касания угла и окружности, а 
и 
- диаметры окружности.
а) Докажите, что 
б) Прямые 
и 
вторично пересекают окружность в точках 
и 
соответственно. Найдите 
если 
Решение:
а) Так как 
и 
являются двумя касательными к окружности, проведенными из одной точки, то они равны друг другу 
- равнобедренный → 
И так как 
то 
- правильный, так как углы 
То есть все стороны равны 
(как центральные углы) → эти углы опираются на равные дуги, которые стягиваются равными хордами: 
Рассмотрим 
- угол 
опирается на диаметр, следовательно этот угол прямой, тогда по теореме Пифагора:
По теореме синусов:
Получаем 
Ч. т. д.
б) Так как 
- касательная, а 
и 
- две секущие, то можно воспользоваться формулой: 
Рассмотрим 
и 
(диаметры) и 
(по двум катетам) → 
- равнобедренный.
Рассмотрим 
по теоереме Пифагора:
Тогда 
(Так как 
).
Рассмотрим 
: по теореме косинуса:
Рассмотрим 
:
По теореме косинуса:
Ответ: б) 1
Источник: Сборник И.В. Ященко