- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 76773
Задание №76773 ЕГЭ по Математике (профиль)
В ромбе 
точки 
и 
- середины сторон 
и 
соответственно. Прямые 
и 
пересекают диагональ 
в точках 
и 
соответственно.
а) Докажите, что 
.
б) Известно, что в пятиугольник 
можно вписать окружность. Найдите ее радиус, если сторона ромба равна 
Решение:
а) Так как 
- ромб (по условию), значит 
и диагонали точки пересечения делятся пополам.
Пусть 
В 
точка 
- точка пересечения медиан т. е 
аналогично в 
точка 
Пусть 
так как 
и 
получаем 
Диагональ ромба разбивает его на два равных треугольника.
Таким образом 
и 
имеют общую вершину и лежат на одной прямой, тогда они имеют одинаковую высоту и их площади относятся как длины оснований, к которым проведена высота.
Так точка пересечения медиан 
Аналогично точка 
Также 
и 
имеют общую высоту из точки 
как 
и 
имеют общую высоту из 
Что и требовалось доказать.
б) По условию в пятиугольнике 
можно вписать окружность, значит эта же окружность вписана в 
так как и 
- точки пересечения продолжений сторон 
по свойству: 
По теореме Пифагора для 
так как - ромб).
(так как точкой пересечения диагонали в ромбе делится пополам).
По теореме Пифагора для 
В 
и 
- медианы, пересекающиеся в точке 
т. е 
Получаем:
Так как 
получаем 
Ответ: б) 8
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)