Задание №77023 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Поскольку  - центр вписанной окружности, то он лежит на пересечении биссектрис, таким образом  - биссектриса угла  следовательно 
Пусть  касается окружности в точке 

Тогда 
В  тогда  рассмотрим 4-х угольник  сумма углов катета равна 
 так как  - точка касания  к окружности).

Найдем угол  в 4-х угольнике  
Получаем  следовательно  лежит на  Что и требовалось доказать.

б) Так как  - прямоугольный, а 
Следовательно  тогда по теореме Пифагора: 
Найдем  из  следовательно 
Тогда  (Так как  - радиусы), а это равно 3.

- центр вписанной окружности, тогда  - биссектриса, следовательно 


тогда 

Ответ: б) 

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)